Resumen.

La respuesta a la pregunta de la existencia de números perfectos impares, es dada por el teorema de los números perfectos y su demostración es mediante el análisis de una ecuación que relaciona la multiplicación de un producto de primos de un número entero, con la suma de divisores de un número expresada como multiplicación de enteros.

La única formula para obtener números perfectos.

Diego Galván Caldera

Universidad de Guadalajara, Jalisco, México.

e-mail: galvancalderadiego30732@yahoo.com.mx

Introducción

Euclides y Euler hicieron contribuciones para encontrar números perfectos, sin embargo no comprobaron la existencia de números perfectos impares y tampoco los ordenadores actuales, esto es por que no pueden existir, en la demostración del teorema de los números perfectos se encuentra la causa.

Teorema de los números perfectos.

Teorema de los números perfectos. Todo número es perfecto, si y solo si tiene la forma:

Donde y son primos.

Demostración. De [1] se sabe que en el libro IX Euclides demuestra que un número par es perfecto si tiene la forma

Donde y son primos.

Dos mil años mas tarde, Euler demostró el reciproco del teorema de Euclides.

Por lo tanto, lo que falta para demostrar el teorema 1 es demostrar que todo número perfecto es par.

Por el teorema fundamental de la aritmética, si es un entero positivo se puede representar por:

(1)

Donde son primos distintos y es entero mayor o igual a cero.

Observación 1. El minino numero de elementos de la forma , deben de ser , no importando el orden.

Y por la definición de número perfecto, si es un número perfecto debe de cumplir:

(2)

Utilizando la función divisor en la ecuación anterior se tiene:

(3)

Como también es un entero positivo, entonces, podrá ser representado como un producto:

(4)
Por lo tanto:

(5)

Dado que la función divisor es multiplicativa se tiene:

(6)

(7)

(8)

(9)

Y por 5:

(10)

En 10 los dos miembros de la ecuación son producto de números enteros. En el primer miembro el número de elementos es ya que el 2 también es un factor primo, sin embargo en el segundo miembro hay ; por lo tanto, no es el minino número de elementos de la forma , que como lo dice en la observación 1 por el teorema fundamental de la aritmética para cualquier numero entero esto debe de ser posible, entonces , la única manera que haya también elementos en el primer miembro, es que algún elemento de sea , para poder aplicar la ley de exponentes , teniendo elementos en el primer miembro de la igualdad y pueda ser cierta la igualdad con números enteros de ambos miembros de 10. Así que por 4, debe de ser par por el elemento que tiene que tener como factor primo y con esto queda demostrado el teorema 1.

Colorario. Por el teorema de los números perfectos, la única formula para las soluciones de la ecuación 10 es:

Donde y son primos. Por lo tanto, esta es la única formula para obtener números perfectos.

Referencias

[1] Tom M. Apóstol: Introducción a la teoría de números, Reverte, S.A., Sevilla, 2002.