Ejemplo:

Dibujar la gráfica de

1. Hay varios apartados:
" Cortes con los ejes:

Si hacemos x=0 tenemos f(0)=1. Es decir, la gráfica pasa por el punto (0,0).

Si hacemos . Es decir la gráfica pasaría por el punto Nos limitamos a los ángulos propios. El ángulo no vale, porque también anula el denominador.
" Dominio: Será todo R excepto en los puntos en los que se anula el denominador, .Es decir, el dominio será
" Asíntotas:
1. Verticales: x=p es una asíntota vertical si . Esto quiere decir que, las únicas asíntotas posibles serían en aquellos puntos en los que se anulara el denominador. Serían .

Ahora tenemos que comprobar que son asíntotas:

2. Horizontales: y=t es una asíntota horizontal si . Es decir, no hay asíntotas horizontales.
3. Oblicuas: Si la recta y=ax+b es una asíntota de la función entonces No existen asíntotas oblicuas.

" Simetrías: Comprobamos que . Es decir, la función no tiene simetrías.
2. Hay varios apartados:
" Puntos que anulen la primera derivada: . Luego la primera derivada no se anula nunca.
" Puntos que anulen la segunda derivada: . La solución no nos vale porque anula el denominador, y ya hemos visto que se trata de una asíntota. Por tanto en los puntos la función tiene los puntos de inflexión.

3. Hay varios apartados:
" El numerador de la primera derivada siempre es negativo, luego para estudiar el crecimiento decrecimiento de la función sólo nos tenemos que fijar en el denominador, que será siempre positivo pues .Resumiendo tendríamos que:
La función es siempre decreciente salvo en los puntos en los que no existe.
Como se puede ver la función en los puntos pasa de decrecer a decrecer, lo que quiere decir que estamos ante puntos de inflexión, como ya habíamos visto (¿más fácil que obtener la segunda derivada?).
" Si observamos la segunda derivada vemos que el denominador es siempre positivo, por lo que para estudiar la concavidad sólo tenemos que centrarnos en el numerador. El numerador es negativo si , es decir, cóncava hacia abajo, y será positivo si , es decir, cóncava hacia arriba.


Luego en el segundo y tercer cuadrante la derivada segunda f''(x)<0, y por tanto, es Cóncava hacia abajo.
Y en el primer y cuarto cuadrante la derivada segunda f''(x)>0, y por tanto, es Cóncava hacia arriba.

4. Ahora ordenamos los resultados para dibujarlos:

Puntos de corte con los ejes:

Dominio:

Asíntotas:
Crecimiento y decrecimiento: Decrece en
Concavidad: Cóncava hacia abajo 2º y 3º cuadrante Cóncava hacia arriba 1º y 4º cuadrante
Dibujamos la gráfica:

Resolvemos el ejemplo con Derive: PULSAR